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    • 函数
    • 来源: |作者:数学组|2019/12/7 10:22:33|浏览次数:1050
    • 函 数

      一、教材分析

      《函数》是义务教育课程标准鲁教版教科书七年级(上)第六章《一次函数》第一节的内容。教材让学生分析了大量的问题,感受到在实际问题中存在两个变量,而且这两个变量之间存在一定的关系,它们的表示方式是多样地,如可以通过列表的方法表示,可以通过画图象的方法表示,还可以通过列解析式的方法表示,但都有着共性:其中一个变量依赖于另一个变量。教材中的函数概念就是这样从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的,主要是通过学生探索实际问题中存在的大量的变量之间关系,进而抽象出函数的概念。

          本节内容是在六年级知识的基础上,继续通过对变量间的关系的考察,让学生初步体会函数的概念,为后续学习打下基础。同时,函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法,感受事物是相互联系和规律的变化。

      二、学情分析

           1、对学生已有知识经验分析

           学生在小学时学到加减乘除运算法则,乘法口诀,就体现了一种对应关系。还有按规律数火柴棒的经历,也体现了一种对应。

           学生在六年级学习圆和扇形时,就初步感知了两个变量的依赖关系;学习数据的表示(统计图表)时,认识数字与图形的联系和对应关系。学习数轴时,初步接触点与数的对应。

           学生在六年级学习用字母表示数,代数式的值的教学是培养学生对变量的认识、树立初步的函数观念的良好契机。数、字母、代数式之间的关系实际上就是数、自变数、函数之间的关系。代数式本身就是代数式所含字母的函数,代数式求值实际上就是给自变数一个确定的值,求对应的函数值。在六年级下册已学习了《变量之间的关系》,学生接触了大量的生活实例额,体会了变量之间相互依赖关系的普遍性,感受到了学习变量关系的必要性,对变量间互相依存的关系有了一定的认识。初步具备了一定的识图能力和主动参与、合作的意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力。

      上述分析表明,课本在正式引进函数概念之前,早已结合有关知识,渗透了函数的概念和对应的思想:通过代数式的值的概念,可以很好给学生渗透一些变量间的依存关系以及变量的变化范围等方面的初步知识,学习平面上的点和有序实数对间的一一对应关系,为学生学习函数的图形做好了准备,此外,方程、等式的学习以及有关几何量的计算,进一步促进学生认识两个量之间是相互关联的,体会到两个变量之间的相互依存关系,都为学生学习函数知识作了很好的准备!

      2、可能存在的难点分析

          由常量数学到变量数学的过渡,以函数的引入为标志,宣布了数学问题的研究由处理相对稳定的数学问题进入处理运动、变化的量与量关系的数学问题的领域,抽象层次的再一次提升;由数到形,又到数形结合,研究量与量之间运动、变化过程中表现出的关系,则又是一类研究对象与研究方法的转变而导致的不适应,就出现了由常量数学到变量数学过渡的这一难关。

           在函数概念认识上,谁是自变量,谁是函数,学生同样存在困惑。实际上,把一个变量叫做函数是相对的,这里,一方面是指,它必须依赖于(即相对于)某个成为自变量的量,例如,一辆汽车用以每小时100公里的速度行驶,这辆汽车行驶的路程S可以看成时间t的函数。而不是说,路程这个量,命中注定是函数,我们也可以把时间看成路程的函数。另一方面,在有些问题中,路程可能就是一个常量。

           在函数概念的认识上还会存在因果关系的误解。我们说“yx的函数”并不意味yx之间有什么实际生活上因果关系,或计算关系。有时学生把函数理解成“函数和它自变量的关系是,你变,我也变”。这种说法是错误的。因为当自变量在它的允许取值范围内取不同数值时,并不要求函数也取不同值。例如对于地铁路线来说,票价是站数的函数,但站数取1,2,3…时,票价都是3元。如果改成“你定我也定”,则不但是准确的,而且入木三分。

      三、教学目标

         1、在具体问题情境中,能确立变量。

         2、初步掌握函数概念,能结合具体实例认识函数,并能判断两个变量之间是否存在函数关系。

         3、根据两个变量之间的关系式,给定其中一个量,对应的会求出另一个量的值。

         4、了解函数的三种表示方法。

         5、通过函数概念的学习,初步形成学生利用函数观点认识现实世界的意识和能力。

         6、在函数概念形成的过程中,培养学生抽象、概况的能力以及数形结合的思想。

         四、教学重点

      初步掌握函数概念,能判断两个变量间的关系;了解函数的三种表示方法。

         五、教学难点

          函数概念的理解。

         六、突破重、难点的方法

         引导、启发,合作交流

         七、课前准备

         教具:教材,课件,电脑    学具:教材,笔,练习本

         八、教学过程设计

          同学们你见过弹簧秤吗?使用过吗?你们打过吊针吗?在上面的两个情景中各个变量之间有着密切的联系,数学上常用函数来刻画变量之间的关系,那么函数是什么?用函数可以解决现实生活中的哪些问题?你想了解这些吗?这节课我们就一起来学习函数。(板书课题:函数) 

         (一)呈现生活实例,提供概念抽象的素材

      实例1.瓶子或罐头盒等圆柱形的物体,常常如下图这样堆放。

                                                   

      第1个图

      第2个图

      第3个图

      第4个图

       

      层数n

      1

      2

      3

      4

      5

      物体总数y

      师生活动:师生结合图象,通过问答的形式,讨论随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?

      (1)观察上图,填表

      (2)你能猜出第100个图物体从上到下是怎么堆放的吗?物体的总数有多少个?第n个图形从上到下怎么堆放的?总数是多少个?

      (3)在这个变化过程中,有几个变化的量?自变量、因变量分别是什么?表示变量间关系的方式是什么?

      (4)在这个变化过程中,给定一个层数后,你能求出相应的物体的个数吗?两个变量之间关系有什么特点?

       

      实例2:我们日常生活中经常看到汽车遇到突发情况紧急刹车的情形

      师生活动在这个紧急刹车的过程中,汽车紧急刹车后滑行的距离跟哪些量有关系?是什么样的关系?

      问题:在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍将滑行S米,一般地有经验公式,其中v表示刹车前汽车的速度(单位:千米/时),讨论滑行距离是如何随刹车前汽车的速度变化而变化的?

      师生活动:师生结合公式,通过问答的形式讨论下述问题

      1)公式中有几个变量,分别是什么?自变量、因变量分别是什么?表示变量间关系的方式是什么?

      2)计算当v分别是5060,100时,对应的滑行距离s是多少?

      3)给定一个v值,你能求出相应的s值吗?两个变量之间关系有什么特点?

       

      实例3:你坐过摩天轮吗?想一想你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的?(动画模拟摩天轮运动的过程)

      问题:(动画模拟下图形成的过程)下图反映了摩天轮上一点的高度h(米)与旋转时间t(分)之间的关系。观察图象,思考高度随时间是如何变化的:

       

       

       

       

       

      师生活动:师生结合图象,通过问答的形式,讨论高度如何变化。

      (1)摩天轮在运动的过程,可能会出现哪些量?你认为哪些是变量?自变量、因变量分别是什么?

      (2)通过图象你能得到那些信息?

      (3) 根据上图填表

      t/

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      h/

      (4)给定一个t值,你都能找到对应的h值吗?两个变量之间关系有什么特点?

      【设计意图】

      通过上面三个实例的展示,使学生们初步感受到现实生活中很多变量间存在依赖关系;变量之间的关系表示方式是多样的(图象、列表和关系式等)。

      (二)形成概念,剖析概念的本质

      问题:通过上述三个问题的解答,在上面我们研究了三个问题。下面大家探讨一下,在这三个问题中的共同点是什么?不同点又是什么?

      师生活动:教师引导学生填写下表,引导学生思考以上三个问题的异同点,进而揭示出函数的概念:

      (1)上面三个问题在各自的变化过程中,各有几个变量?

      (2)两个变量之间彼此间有什么关系,试着用自己的语言描述这种关系?

      (3)给定其中一个变量,能求出另一个变量的值吗?

       师生共同归纳出函数的定义:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。

      (三)突出比较,巩固对概念的理解   

      师生活动结合函数的定义,分析上面的三个问题各自的变化过程。

      (1)在每一个变化过程,变量间的对应关系是函数关系吗?为什么?

      (2)你是怎样理解“确定”这两个字的含义的?

      (3)举一个函数例子,并说明为什么举出的例子表示一个函数?

      【设计意图】

      通过比较异同点,揭示函数的本质概念和不同的表示方法。

      (四)注重应用,加深对概念的理解

      1、下列各题中分别有几个变量?你能将其中哪个变量看成另一个变量的函数吗?

      (1)北京某日温度变化图。

      (2)已知菱形ABCD的对角线AC长为4BD的长x在变化,则菱形的面积为

       

       

       

      (3)在国内投寄平信应付邮资如下表:

      信件质量m/

      0<m≤20

      20< m≤40

      40<m≤60

      邮资y/

      0.80

      1.20

      1.60

      【设计意图】

      通过常量与变量的区别阐述,进一步理解函数的关键;通过三个例题,对函数概念进行更深入的探讨,再次揭示函数概念的本质特征。

         (备选)

        1yx的函数吗?

        2、下列可作为函数的图象的是( 

            A             B                C            D

      3、在下表中,设x表示乘公共汽车的站数,y表示应付的票价(元) 

      x(站)

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      7

      8

      9

      10

      y(元)

      1

      1

      2

      2

      2

      3

      3

      3

      4

      4

      根据此表,回答y是x的函数吗? x是y的函数吗?为什么?

       

       (五)课时小结,认识深化

       问题:通过这节课的学习,大家有什么收获吗?  (师生一起归纳)

         1、初步掌握函数的概念,能判断两个变量间的关系是否可看作函数。

         2、在一个函数关系中,给定自变量的值,能相应地会求出因变量的值。

         3、函数的三种表达式:  1)图象法;(2)表格法;(3)关系式(解析式或表达式)。

      【设计意图】让学生通过思考和回答问题,归纳总结所学数学知识和渗透的数学思想方法,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。

      (六)布置作业,巩固提高

      习题6.1

          下图是某物体的抛射曲线图,其中s表示物体与抛射点之间的水平距离,h表示物体的高度

      (1)这个图象反映了哪两个变量之间的关系?

      (2)根据图象填表:

      S/

      0

      1

      2

      3

      4

      5

      6

      h/

      (3)当距离s取0米至6米之间的一个确定的值时,对应的高度h确定吗?

      (4)高度h可以看成距离s的函数吗?

       

       

       

    • 责任编辑:吴旭昌
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